А можно ли вообще понять мат.анализ?
Разговорились со студентками на тему: "А можно ли вообще понять мат.анализ?"
Одна из моих коллег сказала им, что поняла мат.анализ только перед гос.экзаменами. Когда весь накопленный за пять лет багаж математических знаний, разные, но чем-то похожие дисциплины и междисциплинарные связи, а также диплом по близкой тематике, наконец уложились в голове в единую картину.
Другая из моих коллег сказала им, что мат.анализ поняла уже будучи преподавательницей, когда самой пришлось встать к доске и объяснять.
И, кстати, эти два подхода очень-очень распространены. Очень-очень. Так бывает часто. И не только с мат.анализом.
У меня история сложнее. В школьные годы я была олимпиадницей. Математические кружки, летние математические школы, очень сильная физико-математическая школа, спецкурсы. И да, я просто не помню те времена, когда я не понимала мат.анализ. Дело в том, что в мат.анализе не было ничего специфически необычного. Мат.анализ естественным образом в школьной программе возник в 9 классе, параллельно с фокальными свойствами коник, доказательством неравенства Коши индукцией вверх-вниз, распределением простых чисел в ассимптотике и началами теории вероятностей. Тут же подоспели и замечательные пределы, и начала дифференцирования-интегрирования.
И да, поскольку я была олимпиадницей, то возникновение в школьной программе мат.анализа не было для меня шоком. Идеи бесконечности в разных ее ипостасях витают в олимпиадных кружках класса практически сразу, класса с пятого-шестого (а сейчас и раньше -- класса с первого; у нас на Малом матфаке обязательно с первоклашками изучают Ковер Серпинского )))). Индукция класса с седьмого. А от идеи бесконечности до всего остального мат.анализа на самом деле рукой подать.
И да, я, конечно, была олимпиадницей. Но у меня было больше половины класса обычных ребят -- не олимпиадников. И для них тоже не было ничего специфически сложного именно в мат.анализе. Ты с одинаковым успехом мог забуксовать на задачах на движение, на инверсии или на пределах. Хотя больше всего непоняток было все-таки с физикой )))
И собственно того, чтобы кто-то боялся прицельно мат.анализа -- этого не было, как ни странно.
Да, мы сейчас можем сказать, что в физ.мат.школе учились умненькие, отобранные, мотивированные ребята. Но на матфаке учатся тоже умненькие, отобранные, мотивированные ребята (по-крайней мере, разговариваю я только с такими). И у матфаковцев больше опыта, больше бэкграунд, но при этом лучшие студенты матфака (за исключением выпускников физ.мат.школ) хуже понимают мат.анализ, чем восьмиклассники. Алгебру, например, понимают не хуже. А мат.анализ хуже. Почему же так?
Я не могу утверждать наверняка. И вообще, это очень сложный вопрос. Но у меня закралась мысль, что вся проблема в чистоте и в строгости математического изложения. Когда деткам 10-12 лет начинают объяснять идею бесконечности, ее объясняют буквально на пальцах, не вдаваясь в идеи, и даже более того, часто опытные преподаватели подсказывают новичкам: "а этот вопрос замни для ясности, если его не объяснять, то школьникам понятнее, чем если начать объяснять строго".
Мне так папа подсказывал, когда я первый раз доказывала 6-клашкам теорему о платоновых телах. Говорит: "скажи так: три квадрата могут встретиться в одной вершине; три пятиугольника могут, три шестиугольника уже раскладываются в плоскость. А три семиугольника и вовсе не влезают! И все". Вот это вот крайне нестрогое с математической точки зрения, но крайне точное с бытовой "не влезают" -- это так и есть. И так гораздо понятнее. чем если начать наводить тень на плетень.
И тут возникает совершенно неразрешимая дилемма. С одной стороны, на матфаке, безусловно, надо доказывать все крайне строго. По всем критериям строгости, применимым в современной науке. Но с другой стороны, как мне кажется, да простят меня коллеги, специализирующиеся на анализе, иногда, что называется, за деревьями лес не видно. Начинается такое строгое изложение, что за всеми эпсилон-дельтами и прочими проколотыми омега-окрестностями теряется суть того, что пытались донести.
В конце-концов, великие, которые начинали мат.анализ -- Ньютон, Лейбниц, Тейлор, Гаусс и так далее -- они иногда в работах такую чушь с современной точки зрения писали. Суммировали расходящиеся ряды, вычисляли несуществующие пределы, дифференцировали всюду разрывные функции. И тем не менее, они-то, возможно, лучше кого-либо когда-либо понимали мат.анализ.
Если начинать рассказывать теорию чисел с аксиоматики "обычной" арифметики, ее непротиворечивости и единственности -- то собственно до теории чисел вообще никогда не доберешься, погрязнув в дебрях теории множеств и логики. И специалисты по теории чисел в этом конкретном моменте никогда не гонятся за строгостью, предпочитая понятность.
/* Хотя теорию чисел я, наверное, в пример зря привожу -- вообще не сказать, что кристально понятный предмет. */
Тогда пусть среди примеров будет геометрия. Всех, начиная со школы, и даже более того -- с детского сада, обучают евклидовой геометрии. А ее вообще в реальном мире нет! Но она зато всем интуитивно более понятная, чем настоящая геометрия реального мира.
Первое понятие, которое из математики изучает маленький ребенок -- это единица. Ну, или одно из первых. А если мы попытаемся с математической точки зрения объяснить, что такое единица -- мы можем посмотреть на опыт товарищей Бурбаки. У которых на объяснение числа 1 ушло 100 страниц.
Иногда лучше и правильнее будет преподавателю чуть-чуть скруглить острые углы, а не следовать всем изгибам сложных как норвежские фьорды линиям математики. Или нет?
Одна из моих коллег сказала им, что поняла мат.анализ только перед гос.экзаменами. Когда весь накопленный за пять лет багаж математических знаний, разные, но чем-то похожие дисциплины и междисциплинарные связи, а также диплом по близкой тематике, наконец уложились в голове в единую картину.
Другая из моих коллег сказала им, что мат.анализ поняла уже будучи преподавательницей, когда самой пришлось встать к доске и объяснять.
И, кстати, эти два подхода очень-очень распространены. Очень-очень. Так бывает часто. И не только с мат.анализом.
У меня история сложнее. В школьные годы я была олимпиадницей. Математические кружки, летние математические школы, очень сильная физико-математическая школа, спецкурсы. И да, я просто не помню те времена, когда я не понимала мат.анализ. Дело в том, что в мат.анализе не было ничего специфически необычного. Мат.анализ естественным образом в школьной программе возник в 9 классе, параллельно с фокальными свойствами коник, доказательством неравенства Коши индукцией вверх-вниз, распределением простых чисел в ассимптотике и началами теории вероятностей. Тут же подоспели и замечательные пределы, и начала дифференцирования-интегрирования.
И да, поскольку я была олимпиадницей, то возникновение в школьной программе мат.анализа не было для меня шоком. Идеи бесконечности в разных ее ипостасях витают в олимпиадных кружках класса практически сразу, класса с пятого-шестого (а сейчас и раньше -- класса с первого; у нас на Малом матфаке обязательно с первоклашками изучают Ковер Серпинского )))). Индукция класса с седьмого. А от идеи бесконечности до всего остального мат.анализа на самом деле рукой подать.
И да, я, конечно, была олимпиадницей. Но у меня было больше половины класса обычных ребят -- не олимпиадников. И для них тоже не было ничего специфически сложного именно в мат.анализе. Ты с одинаковым успехом мог забуксовать на задачах на движение, на инверсии или на пределах. Хотя больше всего непоняток было все-таки с физикой )))
И собственно того, чтобы кто-то боялся прицельно мат.анализа -- этого не было, как ни странно.
Да, мы сейчас можем сказать, что в физ.мат.школе учились умненькие, отобранные, мотивированные ребята. Но на матфаке учатся тоже умненькие, отобранные, мотивированные ребята (по-крайней мере, разговариваю я только с такими). И у матфаковцев больше опыта, больше бэкграунд, но при этом лучшие студенты матфака (за исключением выпускников физ.мат.школ) хуже понимают мат.анализ, чем восьмиклассники. Алгебру, например, понимают не хуже. А мат.анализ хуже. Почему же так?
Я не могу утверждать наверняка. И вообще, это очень сложный вопрос. Но у меня закралась мысль, что вся проблема в чистоте и в строгости математического изложения. Когда деткам 10-12 лет начинают объяснять идею бесконечности, ее объясняют буквально на пальцах, не вдаваясь в идеи, и даже более того, часто опытные преподаватели подсказывают новичкам: "а этот вопрос замни для ясности, если его не объяснять, то школьникам понятнее, чем если начать объяснять строго".
Мне так папа подсказывал, когда я первый раз доказывала 6-клашкам теорему о платоновых телах. Говорит: "скажи так: три квадрата могут встретиться в одной вершине; три пятиугольника могут, три шестиугольника уже раскладываются в плоскость. А три семиугольника и вовсе не влезают! И все". Вот это вот крайне нестрогое с математической точки зрения, но крайне точное с бытовой "не влезают" -- это так и есть. И так гораздо понятнее. чем если начать наводить тень на плетень.
И тут возникает совершенно неразрешимая дилемма. С одной стороны, на матфаке, безусловно, надо доказывать все крайне строго. По всем критериям строгости, применимым в современной науке. Но с другой стороны, как мне кажется, да простят меня коллеги, специализирующиеся на анализе, иногда, что называется, за деревьями лес не видно. Начинается такое строгое изложение, что за всеми эпсилон-дельтами и прочими проколотыми омега-окрестностями теряется суть того, что пытались донести.
В конце-концов, великие, которые начинали мат.анализ -- Ньютон, Лейбниц, Тейлор, Гаусс и так далее -- они иногда в работах такую чушь с современной точки зрения писали. Суммировали расходящиеся ряды, вычисляли несуществующие пределы, дифференцировали всюду разрывные функции. И тем не менее, они-то, возможно, лучше кого-либо когда-либо понимали мат.анализ.
Если начинать рассказывать теорию чисел с аксиоматики "обычной" арифметики, ее непротиворечивости и единственности -- то собственно до теории чисел вообще никогда не доберешься, погрязнув в дебрях теории множеств и логики. И специалисты по теории чисел в этом конкретном моменте никогда не гонятся за строгостью, предпочитая понятность.
/* Хотя теорию чисел я, наверное, в пример зря привожу -- вообще не сказать, что кристально понятный предмет. */
Тогда пусть среди примеров будет геометрия. Всех, начиная со школы, и даже более того -- с детского сада, обучают евклидовой геометрии. А ее вообще в реальном мире нет! Но она зато всем интуитивно более понятная, чем настоящая геометрия реального мира.
Первое понятие, которое из математики изучает маленький ребенок -- это единица. Ну, или одно из первых. А если мы попытаемся с математической точки зрения объяснить, что такое единица -- мы можем посмотреть на опыт товарищей Бурбаки. У которых на объяснение числа 1 ушло 100 страниц.
Иногда лучше и правильнее будет преподавателю чуть-чуть скруглить острые углы, а не следовать всем изгибам сложных как норвежские фьорды линиям математики. Или нет?