Кукина Екатерина (kukina_kat) wrote,
Кукина Екатерина
kukina_kat

Categories:

А можно ли вообще понять мат.анализ?

Разговорились со студентками на тему: "А можно ли вообще понять мат.анализ?"

Одна из моих коллег сказала им, что поняла мат.анализ только перед гос.экзаменами. Когда весь накопленный за пять лет багаж математических знаний, разные, но чем-то похожие дисциплины и междисциплинарные связи, а также диплом по близкой тематике, наконец уложились в голове в единую картину.

Другая из моих коллег сказала им, что мат.анализ поняла уже будучи преподавательницей, когда самой пришлось встать к доске и объяснять.


И, кстати, эти два подхода очень-очень распространены. Очень-очень. Так бывает часто. И не только с мат.анализом.

У меня история сложнее. В школьные годы я была олимпиадницей. Математические кружки, летние математические школы, очень сильная физико-математическая школа, спецкурсы. И да, я просто не помню те времена, когда я не понимала мат.анализ. Дело в том, что в мат.анализе не было ничего специфически необычного. Мат.анализ естественным образом в школьной программе возник в 9 классе, параллельно с фокальными свойствами коник, доказательством неравенства Коши индукцией вверх-вниз, распределением простых чисел в ассимптотике и началами теории вероятностей. Тут же подоспели и замечательные пределы, и начала дифференцирования-интегрирования.

И да, поскольку я была олимпиадницей, то возникновение в школьной программе мат.анализа не было для меня шоком. Идеи бесконечности в разных ее ипостасях витают в олимпиадных кружках класса практически сразу, класса с пятого-шестого (а сейчас и раньше -- класса с первого; у нас на Малом матфаке обязательно с первоклашками изучают Ковер Серпинского )))). Индукция класса с седьмого. А от идеи бесконечности до всего остального мат.анализа на самом деле рукой подать.

И да, я, конечно, была олимпиадницей. Но у меня было больше половины класса обычных ребят -- не олимпиадников. И для них тоже не было ничего специфически сложного именно в мат.анализе. Ты с одинаковым успехом мог забуксовать на задачах на движение, на инверсии или на пределах. Хотя больше всего непоняток было все-таки с физикой )))
И собственно того, чтобы кто-то боялся прицельно мат.анализа -- этого не было, как ни странно.

Да, мы сейчас можем сказать, что в физ.мат.школе учились умненькие, отобранные, мотивированные ребята. Но на матфаке учатся тоже умненькие, отобранные, мотивированные ребята (по-крайней мере, разговариваю я только с такими). И у матфаковцев больше опыта, больше бэкграунд, но при этом лучшие студенты матфака (за исключением выпускников физ.мат.школ) хуже понимают мат.анализ, чем восьмиклассники. Алгебру, например, понимают не хуже. А мат.анализ хуже. Почему же так?

Я не могу утверждать наверняка. И вообще, это очень сложный вопрос. Но у меня закралась мысль, что вся проблема в чистоте и в строгости математического изложения. Когда деткам 10-12 лет начинают объяснять идею бесконечности, ее объясняют буквально на пальцах, не вдаваясь в идеи, и даже более того, часто опытные преподаватели подсказывают новичкам: "а этот вопрос замни для ясности, если его не объяснять, то школьникам понятнее, чем если начать объяснять строго".

Мне так папа подсказывал, когда я первый раз доказывала 6-клашкам теорему о платоновых телах. Говорит: "скажи так: три квадрата могут встретиться в одной вершине; три пятиугольника могут, три шестиугольника уже раскладываются в плоскость. А три семиугольника и вовсе не влезают! И все". Вот это вот крайне нестрогое с математической точки зрения, но крайне точное с бытовой "не влезают" -- это так и есть. И так гораздо понятнее. чем если начать наводить тень на плетень.

И тут возникает совершенно неразрешимая дилемма. С одной стороны, на матфаке, безусловно, надо доказывать все крайне строго. По всем критериям строгости, применимым в современной науке. Но с другой стороны, как мне кажется, да простят меня коллеги, специализирующиеся на анализе, иногда, что называется, за деревьями лес не видно. Начинается такое строгое изложение, что за всеми эпсилон-дельтами и прочими проколотыми омега-окрестностями теряется суть того, что пытались донести.

В конце-концов, великие, которые начинали мат.анализ -- Ньютон, Лейбниц, Тейлор, Гаусс и так далее -- они иногда в работах такую чушь с современной точки зрения писали. Суммировали расходящиеся ряды, вычисляли несуществующие пределы, дифференцировали всюду разрывные функции. И тем не менее, они-то, возможно, лучше кого-либо когда-либо понимали мат.анализ.

Если начинать рассказывать теорию чисел с аксиоматики "обычной" арифметики, ее непротиворечивости и единственности -- то собственно до теории чисел вообще никогда не доберешься, погрязнув в дебрях теории множеств и логики. И специалисты по теории чисел в этом конкретном моменте никогда не гонятся за строгостью, предпочитая понятность.
/* Хотя теорию чисел я, наверное, в пример зря привожу -- вообще не сказать, что кристально понятный предмет. */
Тогда пусть среди примеров будет геометрия. Всех, начиная со школы, и даже более того -- с детского сада, обучают евклидовой геометрии. А ее вообще в реальном мире нет! Но она зато всем интуитивно более понятная, чем настоящая геометрия реального мира.

Первое понятие, которое из математики изучает маленький ребенок -- это единица. Ну, или одно из первых. А если мы попытаемся с математической точки зрения объяснить, что такое единица -- мы можем посмотреть на опыт товарищей Бурбаки. У которых на объяснение числа 1 ушло 100 страниц.

Иногда лучше и правильнее будет преподавателю чуть-чуть скруглить острые углы, а не следовать всем изгибам сложных как норвежские фьорды линиям математики. Или нет?
Tags: ностальгическое, преподское
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

  • 20 comments